Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
y=\frac{1}{\sqrt[3]{\operatorname{sen}(x)+x+1+x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{1}{\sqrt[3]{\operatorname{sen}(x) + x + 1 + x^{3}}}
ou seja, estamos no conteúdo de derivadas usando a regra da cadeia. Vamos precisar reescrever a função em potências e aplicar a derivada de uma função composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = \operatorname{sen}(x) + x + 1 + x^{3}
e então reescrevemos y como potência de u:
y = \bigl(u(x)\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Para derivar y = [u(x)]^{-1/3} usamos a regra da potência combinada com a cadeia. A derivada de u^{\,n} em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr) = n\,u^{n-1},
de modo que
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}\bigl(u^{-1/3}\bigr)\cdot \frac{du}{dx} = \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)\,u^{-1/3 - 1}\,\frac{du}{dx} = -\tfrac{1}{3}\,u^{-\tfrac{4}{3}}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de u(x):
u(x) = \operatorname{sen}(x) + x + 1 + x^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \cos(x) + 1 + 3x^{2}.

Passo 5

Substituindo u e du/dx na expressão de dy/dx, temos
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{3}\,\bigl(\operatorname{sen}(x)+x+1+x^{3}\bigr)^{-\tfrac{4}{3}} \;\bigl(\cos(x)+1+3x^{2}\bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}\,(\operatorname{sen}(x)+x+1+x^{3})^{-\tfrac{4}{3}}\;(\cos(x)+1+3x^{2}).

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