Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
y=\left(\frac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)+x^{3}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = \biggl(\frac{x^{2}+x}{\sin(x)+x^{3}}\biggr)^{3}.
O conteúdo principal envolve a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do quociente, além das derivadas de x^{2}, x, \sin(x) e x^{3}.

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{x^{2}+x}{\sin(x)+x^{3}},
então y = [u(x)]^{3}. Aplicando a regra da cadeia, temos
y' = 3\,[u(x)]^{2}\,u'(x).

Passo 3

Vamos calcular u'(x) pela regra do quociente. Seja
v(x) = x^{2}+x, \quad w(x) = \sin(x)+x^{3}.
Então
v'(x) = 2x+1, \quad w'(x) = \cos(x)+3x^{2},
e a derivada do quociente é
u'(x) = \frac{v'(x)\,w(x) - v(x)\,w'(x)}{[w(x)]^{2}} = \frac{(2x+1)\,(\sin(x)+x^{3}) - (x^{2}+x)\,(\cos(x)+3x^{2})}{\bigl(\sin(x)+x^{3}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em
\displaystyle y' = 3\,[u(x)]^{2}\,u'(x), obtemos
y' = 3 \,\frac{(x^{2}+x)^{2}}{\bigl(\sin(x)+x^{3}\bigr)^{2}} \;\cdot\; \frac{(2x+1)\,(\sin(x)+x^{3}) - (x^{2}+x)\,(\cos(x)+3x^{2})}{\bigl(\sin(x)+x^{3}\bigr)^{2}}.
Agrupando as potências de \sin(x)+x^{3}, chega-se a
y' = \frac{3\,(x^{2}+x)^{2}\,\bigl[(2x+1)(\sin(x)+x^{3}) - (x^{2}+x)(\cos(x)+3x^{2})\bigr]}{\bigl(\sin(x)+x^{3}\bigr)^{4}}.

Resposta

y' = \frac{3\,(x^{2}+x)^{2}\,\bigl[(2x+1)(\sin(x)+x^{3}) - (x^{2}+x)(\cos(x)+3x^{2})\bigr]}{\bigl(\sin(x)+x^{3}\bigr)^{4}}.

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