Exercício 4.35 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5},
aplicando a Regra de L’Hospital caso haja indeterminação. O conteúdo é cálculo de limites de funções envolvendo radicais e, em princípio, uso da Regra de L’Hospital para formas indeterminadas.

Passo 2

Verificamos a forma do limite por substituição direta em x=0:
\sqrt{0}-\sqrt{5}=-\sqrt{5},
0-5=-5.
Como o numerador tende a -\sqrt{5} e o denominador a -5, ambos são finitos e o denominador é diferente de zero. Portanto não há indeterminação do tipo 0/0 nem \infty/\infty, e a Regra de L’Hospital não se aplica.

Passo 3

Quando não há indeterminação, basta seguir a substituição direta no quociente:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{x-5} =\frac{-\sqrt{5}}{-5} =\frac{\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\frac{\sqrt{5}}{5}

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