Exercício 35. O conjunto W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a=3 b\right\} é un subespaço de R^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid a = 3b\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que (i) \mathbf{0}\in W, (ii) u,v\in W\implies u+v\in W e (iii) u\in W,\;\lambda\in\mathbb{R}\implies \lambda u\in W.

Passo 2

Verificar se o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a W. Como na condição de W precisamos de a=3b, tomamos a=0 e b=0 e vemos que
0 = 3\cdot 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento por soma. Sejam
u=(a_1,b_1,c_1)\in W\quad\text{e}\quad v=(a_2,b_2,c_2)\in W,
ou seja a_1=3b_1 e a_2=3b_2. Então
u+v = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2).
Para ver se u+v\in W checamos se o primeiro componente é três vezes o segundo:
a_1 + a_2 = 3b_1 + 3b_2 = 3\,(b_1 + b_2).
Portanto u+v satisfaz a condição a=3b e pertence a W.

Passo 4

Fechamento por multiplicação escalar. Seja u=(a,b,c)\in W com a=3b e \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda c).
Verificamos a condição:
\lambda a = \lambda\,(3b) = 3\,(\lambda b),
logo \lambda u também satisfaz a=3b e está em W.

Resposta

Sim. W é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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