Exercício 35 (Distância de ponto a plano e de ponto a reta) Calcular as distâncias indicadas.
Calcular a distância do ponto M(1 ; 1 ; 1) ao plano com representação paramétrica
(P):\left\{\begin{array}{l} x=1+2 s+1 t \\\ y=s+t \\\ z=2+s+t \end{array} \quad(s, t \in \mathbb{R})\right.
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto M(1,1,1) a um plano dado em forma paramétrica. O conteúdo envolvido é a fórmula da distância de um ponto a um plano: precisamos encontrar um ponto-base do plano, dois vetores diretores, calcular o vetor normal ao plano por produto vetorial e aplicar
d=\frac{\bigl|(M-P_0)\cdot n\bigr|}{\|n\|}.
Passo 2
Escolhemos P_0 como o ponto do plano quando s=0 e t=0. Da paramétrica
x=1+2s+t,\quad y=s+t,\quad z=2+s+t
temos
P_0=(1,0,2).
Os vetores diretores vêm dos coeficientes de s e t:
u=(2,1,1), \quad v=(1,1,1).
Passo 3
Calculamos o vetor normal n ao plano fazendo u\times v: