Exercício 35 (Distância de ponto a plano e de ponto a reta) Calcular as distâncias indicadas.
Calcular a distância do ponto M(1 ; 1 ; 1) ao plano com representação paramétrica
(P):\left\{\begin{array}{l} x=1+2 s+1 t \\\ y=s+t \\\ z=2+s+t \end{array} \quad(s, t \in \mathbb{R})\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto M(1,1,1) a um plano dado em forma paramétrica. O conteúdo envolvido é a fórmula da distância de um ponto a um plano: precisamos encontrar um ponto-base do plano, dois vetores diretores, calcular o vetor normal ao plano por produto vetorial e aplicar
d=\frac{\bigl|(M-P_0)\cdot n\bigr|}{\|n\|}.

Passo 2

Escolhemos P_0 como o ponto do plano quando s=0 e t=0. Da paramétrica
x=1+2s+t,\quad y=s+t,\quad z=2+s+t
temos
P_0=(1,0,2).
Os vetores diretores vêm dos coeficientes de s e t:
u=(2,1,1), \quad v=(1,1,1).

Passo 3

Calculamos o vetor normal n ao plano fazendo u\times v:
n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 1\cdot1)\,\mathbf{i} - (2\cdot1 - 1\cdot1)\,\mathbf{j} + (2\cdot1 - 1\cdot1)\,\mathbf{k} =(0,\,-1,\,1).
Logo \|n\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Formamos o vetor M-P_0:
M-P_0 = (1-1,\;1-0,\;1-2) = (0,1,-1).
O produto escalar com n é
(M-P_0)\cdot n = (0,1,-1)\cdot(0,-1,1) = 0 -1 -1 = -2,
portanto
d = \frac{\bigl|(M-P_0)\cdot n\bigr|}{\|n\|} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Resposta

A distância de M ao plano P é \sqrt{2}.

Exercícios relacionados