Exercício 35 (Distância de ponto a plano e de ponto a reta) Calcular as distâncias indicadas.
Calcular a distância do ponto M(0 ; 2 ; 4) à reta com representação na forma de um sistema
(R):\left\{\begin{aligned} x+y-3 z=-1 \\\\ 2 x+y-5 z=0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto M(0,2,4)\) à reta \(R\) definida pela interseção dos planos \[(R):\begin{cases} x+y-3z=-1,\\\\ 2x+y-5z=0. \end{cases}
Este é um problema de distância de ponto a reta no espaço. Vamos usar a fórmula
d=\frac{\|\overrightarrow{P_0M}\times \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde P_0\] é um ponto qualquer em \(R e \mathbf{v} é um vetor diretor de R.

Passo 2

Os vetores normais aos dois planos são \mathbf{n}_1=(1,1,-3) e \mathbf{n}_2=(2,1,-5).
O vetor diretor da reta é dado pelo produto vetorial
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times \mathbf{n}_2=(-2,-1,-1).

Passo 3

Para obter um ponto P_0\) em \(R\), fixamos \(z=0\) e resolvemos \[\begin{cases} x+y=-1,\\\\ 2x+y=0, \end{cases}
de onde x=1\] e \(y=-2. Logo escolhemos P_0=(1,-2,0).

Passo 4

O vetor de P_0 até M é
\overrightarrow{P_0M}=M-P_0=(0-1,\,2-(-2),\,4-0)=(-1,4,4).

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{P_0M}\times \mathbf{v}=(-1,4,4)\times(-2,-1,-1)=(0,-9,9).
Suas normas são \|\overrightarrow{P_0M}\times \mathbf{v}\|=\sqrt{0^2+(-9)^2+9^2}=\sqrt{162}=9\sqrt2
e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt6.
Substituindo na fórmula,
d=\frac{9\sqrt2}{\sqrt6}=\frac{9\sqrt2}{\sqrt6}\cdot\frac{\sqrt6}{\sqrt6}=3\sqrt3.

Resposta

3\sqrt3

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