Exercício 35: Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 6 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?
Passo 1
O homem tem 5 amigas e 7 amigos; a esposa tem 7 amigas e 6 amigos. Eles querem convidar ao todo 6 amigas e 6 amigos, sendo que cada um deve convidar exatamente 6 pessoas. Para resolver, vamos usar contagem por casos e o fato de que quem convida uma amiga do marido só pode ser o marido, e quem convida uma amiga da esposa só pode ser a esposa, e o mesmo vale para os amigos. Precisaremos de coeficientes binomiais para contar as escolhas de cada um.
Passo 2
Seja
o número de amigas que o marido convida. Então:
– O marido convida amigas entre as suas 5 e, como no total ele convida 6 pessoas, convida
amigos entre os seus 7.
– Como o total de amigas convidadas deve ser 6, a esposa convida amigas entre as suas 7; e como ela também convida 6 pessoas no total, ela convida
amigos entre os seus 6.
– O marido convida
– Como o total de amigas convidadas deve ser 6, a esposa convida
Passo 3
Para um valor fixo de
, o número de modos é
Como
pode variar de 0 até 5 (o marido não pode convidar mais de 5 amigas nem menos de 0), o total é
Passo 4
Vamos calcular termo a termo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Passo 5
Somando todos os casos:
Resposta
maneiras.