Exercício 35: Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 6 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

Passo 1

O homem tem 5 amigas e 7 amigos; a esposa tem 7 amigas e 6 amigos. Eles querem convidar ao todo 6 amigas e 6 amigos, sendo que cada um deve convidar exatamente 6 pessoas. Para resolver, vamos usar contagem por casos e o fato de que quem convida uma amiga do marido só pode ser o marido, e quem convida uma amiga da esposa só pode ser a esposa, e o mesmo vale para os amigos. Precisaremos de coeficientes binomiais para contar as escolhas de cada um.

Passo 2

Seja x o número de amigas que o marido convida. Então:
– O marido convida x amigas entre as suas 5 e, como no total ele convida 6 pessoas, convida 6 - x amigos entre os seus 7.
– Como o total de amigas convidadas deve ser 6, a esposa convida 6 - x amigas entre as suas 7; e como ela também convida 6 pessoas no total, ela convida 6 - (6 - x)=x amigos entre os seus 6.

Passo 3

Para um valor fixo de x, o número de modos é
\binom{5}{x}\,\binom{7}{6-x} \;\times\; \binom{7}{6-x}\,\binom{6}{x}.
Como x pode variar de 0 até 5 (o marido não pode convidar mais de 5 amigas nem menos de 0), o total é
\sum_{x=0}^{5} \binom{5}{x}\,\binom{7}{6-x} \;\binom{7}{6-x}\,\binom{6}{x}.

Passo 4

Vamos calcular termo a termo:
Para x=0: \binom{5}{0}\binom{7}{6}\binom{7}{6}\binom{6}{0}=1\cdot7\cdot7\cdot1=49.
Para x=1: 5\cdot\binom{7}{5}\cdot\binom{7}{5}\cdot6=5\cdot21\cdot21\cdot6=13\,230.
Para x=2: 10\cdot\binom{7}{4}\cdot\binom{7}{4}\cdot15=10\cdot35\cdot35\cdot15=183\,750.
Para x=3: 10\cdot\binom{7}{3}\cdot\binom{7}{3}\cdot20=10\cdot35\cdot35\cdot20=245\,000.
Para x=4: 5\cdot\binom{7}{2}\cdot\binom{7}{2}\cdot15=5\cdot21\cdot21\cdot15=33\,075.
Para x=5: 1\cdot\binom{5}{5}\binom{7}{1}\binom{7}{1}\binom{6}{5}=1\cdot7\cdot7\cdot6=294.

Passo 5

Somando todos os casos:
49 \;+\;13\,230\;+\;183\,750\;+\;245\,000\;+\;33\,075\;+\;294 \;=\;475\,398.

Resposta

475\,398
maneiras.

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