Exercício 34: Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?

Passo 1

O enunciado diz que em um torneio com n participantes cada par de participantes joga exatamente uma partida, totalizando 780 partidas. Esse é um problema de combinatória básica: vamos precisar usar a fórmula do número de combinações de n elementos tomados de 2 em 2.

Passo 2

O número de partidas é justamente o número de maneiras de escolher 2 participantes dentre n, ou seja,
\binom{n}{2} \;=\;\frac{n(n-1)}{2}.
Como foram jogadas 780 partidas, temos
\frac{n(n-1)}{2} = 780.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
n(n-1) = 1560
e desenvolvendo,
n^2 - n - 1560 = 0.

Passo 4

Para resolver n^2 - n - 1560 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-1560) = 1 + 6240 = 6241 = 79^2.
Logo as raízes são
n = \frac{1 \pm 79}{2}.
A única solução positiva é
n = \frac{1 + 79}{2} = 40.

Resposta

40

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