Exercício 35. Verifique quais das séries abaixo convergem:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{k}\right);

Passo 1

Enunciado: analisar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right).
Informações dadas e coisas óbvias que extraí do enunciado:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{(-1)^k}{k}\sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right).
  • Para k\ge 1 temos 0<\dfrac{1}{k}\le 1, portanto \sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right)>0. Logo os sinais alternam por causa de (-1)^k.
  • O enunciado pede apenas para verificar se a série converge (poderíamos pensar em convergência absoluta ou condicional).

Passo 2

Vou estudar a série das normas ( \sum |a_k|) porque, se a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente e, portanto, converge. Primeiro escrevo o módulo do termo:
|a_k|=\left|\frac{(-1)^k}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right)\right|=\frac{1}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right).
Explicando: como \sin(1/k)>0 para k\ge1, o módulo simplesmente remove (-1)^k.

Passo 3

Usarei uma desigualdade clássica para \sin. Defina f(x)=x-\sin x. Temos f(0)=0 e
f'(x)=1-\cos x\ge 0\quad\text{para todo }x\ge 0,
porque \cos x\le 1. Assim f é não decrescente em [0,\infty), então f(x)\ge f(0)=0 para x\ge0. Isso dá a desigualdade
\sin x\le x\quad\text{para todo }x\ge 0.
Aplicando com x=\dfrac{1}{k} (que é \ge0) obtemos
\sin\!\left(\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k}.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior, comparo |a_k| com uma série conhecida:
|a_k|=\frac{1}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{k}=\frac{1}{k^2}.
Portanto para todo k vale 0\le |a_k|\le \dfrac{1}{k^2}.

Passo 5

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} é uma p-série com p=2>1, e sabemos (por exemplo pelo teste integral ou resultado clássico de séries p) que ela converge. Pelo teste de comparação (se 0\le u_k\le v_k e \sum v_k converge então \sum u_k converge), concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\sin\!\left(\frac{1}{k}\right)
converge.

Passo 6

Como a série dos módulos \sum |a_k| converge, a série original converge absolutamente. Lembrete didático: convergência absoluta significa que \sum |a_k| converge; convergência absoluta implica convergência da série \sum a_k. Portanto não precisamos aplicar o teste de Leibniz (alternante) — a conclusão pela comparação já é mais forte.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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