Informações dadas e coisas óbvias que extraí do enunciado:
O termo geral é a_k=\dfrac{(-1)^k}{k}\sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right).
Para k\ge 1 temos 0<\dfrac{1}{k}\le 1, portanto \sin\!\left(\dfrac{1}{k}\right)>0. Logo os sinais alternam por causa de (-1)^k.
O enunciado pede apenas para verificar se a série converge (poderíamos pensar em convergência absoluta ou condicional).
Passo 2
Vou estudar a série das normas (\sum |a_k|) porque, se a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente e, portanto, converge. Primeiro escrevo o módulo do termo:
Portanto para todo k vale 0\le |a_k|\le \dfrac{1}{k^2}.
Passo 5
A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} é uma p-série com p=2>1, e sabemos (por exemplo pelo teste integral ou resultado clássico de séries p) que ela converge. Pelo teste de comparação (se 0\le u_k\le v_k e \sum v_k converge então \sum u_k converge), concluímos que
Como a série dos módulos \sum |a_k| converge, a série original converge absolutamente. Lembrete didático: convergência absoluta significa que \sum |a_k| converge; convergência absoluta implica convergência da série \sum a_k. Portanto não precisamos aplicar o teste de Leibniz (alternante) — a conclusão pela comparação já é mais forte.