Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
f(x)=x^{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\sqrt{2}}. O conteúdo aqui é a regra da potência para expoente constante: se f(x)=x^{n} com n constante, então
f'(x)=n\,x^{n-1},
válido em x>0.

Passo 2

Para ver isso por outro ângulo, escrevemos
f(x)=e^{\sqrt{2}\,\ln x}.
Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) =e^{\sqrt{2}\,\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr) =e^{\sqrt{2}\,\ln x}\cdot\sqrt{2}\,\frac{1}{x}.

Passo 3

Como e^{\sqrt{2}\,\ln x}=x^{\sqrt{2}}, substituímos na expressão anterior e simplificamos:
f'(x) =x^{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{x} =\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}.

Resposta

f'(x)=\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}.

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