Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
f(x)=\ln \left(e^{5 x-2}+\frac{1}{e^{5 x-2}}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x)=\ln\Bigl(e^{5x-2}+\frac1{e^{5x-2}}\Bigr).
O conteúdo necessário é a regra da cadeia aplicada à função logaritmo e a derivada de exponenciais.

Passo 2

Definimos
A(x)=e^{5x-2}+e^{-(5x-2)},
de modo que f(x)=\ln\bigl(A(x)\bigr). Pela regra da cadeia para o logaritmo, temos
f'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}.

Passo 3

Para calcular A'(x), seja u(x)=5x-2. Então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=u'(x)\,e^{u(x)}=5e^{u(x)},
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-u(x)}\bigr)=-u'(x)\,e^{-u(x)}=-5e^{-u(x)}.

Passo 4

Substituindo u(x)=5x-2, obtemos
A'(x)=5e^{5x-2}-5e^{-(5x-2)}, \quad A(x)=e^{5x-2}+e^{-(5x-2)}.
Logo
f'(x)=\frac{5\bigl(e^{5x-2}-e^{-(5x-2)}\bigr)}{\,e^{5x-2}+e^{-(5x-2)}\,}.

Passo 5

Reconhecendo a definição de tangente hiperbólica,
\operatorname{tanh}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}},
vemos que
f'(x)=5\,\operatorname{tanh}\bigl(5x-2\bigr).

Resposta

f'(x)=5\,\operatorname{tanh}\bigl(5x-2\bigr).

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