Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
g(x)=\frac{(3 x+5)^{6} \sqrt{x^{4}+3 x^{2}}}{\left[\left(e^{3 x}+7\right)^{2}\right]^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{(3x+5)^{6}\,\sqrt{x^{4}+3x^{2}}}{\bigl((e^{3x}+7)^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}}\,.
O conteúdo principal envolve a regra do produto, cadeia e potências, mas uma boa estratégia é usar diferenciação logarítmica para simplificar o trabalho.

Passo 2

Reescrevemos g(x) em potências:
g(x)=(3x+5)^{6}\,(x^{4}+3x^{2})^{\tfrac12}\,(e^{3x}+7)^{-\tfrac{2}{3}}.
Definimos y=g(x) e aplicamos logaritmo:
\ln y = 6\ln(3x+5) + \tfrac12\ln(x^{4}+3x^{2}) \;-\;\tfrac{2}{3}\ln(e^{3x}+7).

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Usando que \frac{d}{dx}\ln u = u'/u, obtemos
\frac{y'}{y} =6\cdot\frac{3}{3x+5} +\tfrac12\cdot\frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}} -\tfrac{2}{3}\cdot\frac{(e^{3x})'}{e^{3x}+7}.

Passo 4

Calculamos cada termo:
6\cdot\frac{3}{3x+5}=\frac{18}{3x+5}, \qquad \tfrac12\cdot\frac{4x^{3}+6x}{x^{4}+3x^{2}} =\frac{4x^{3}+6x}{2x^{2}(x^{2}+3}} =\frac{2x^{2}+3}{x(x^{2}+3)},
(e^{3x})'=3e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{2}{3}\cdot\frac{3e^{3x}}{e^{3x}+7} =-\frac{2e^{3x}}{e^{3x}+7}.
Portanto
\frac{y'}{y} =\frac{18}{3x+5} +\frac{2x^{2}+3}{x(x^{2}+3)} -\frac{2e^{3x}}{e^{3x}+7}.

Passo 5

Voltando a g(x), multiplicamos ambos os lados por y=g(x):
g'(x) =g(x)\,\biggl( \frac{18}{3x+5} +\frac{2x^{2}+3}{x(x^{2}+3)} -\frac{2e^{3x}}{e^{3x}+7} \biggr).
E, lembrando a forma original de g(x), podemos escrever:

Resposta

g'(x) =\frac{(3x+5)^{6}\,\sqrt{x^{4}+3x^{2}}}{(e^{3x}+7)^{\tfrac{2}{3}}} \left( \frac{18}{3x+5} +\frac{2x^{2}+3}{x(x^{2}+3)} -\frac{2e^{3x}}{e^{3x}+7} \right).

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