Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\frac{1}{x}+2 \log _{2}(x)-\frac{\log _{2}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{x}+2\log_{2}(x)-\frac{\log_{2}(x)}{x}.
O conteúdo envolvido é: derivada de 1/x, derivada de \log_{2}(x) (usando mudança de base) e derivada de um quociente. Vamos usar:
\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-x^{-2}.
\displaystyle\frac{d}{dx}\log_{2}(x)=\frac{1}{x\ln(2)}.
– Regra do produto/quociente para \ln(x)/x.

Passo 2

Para simplificar, escrevemos \log_{2}(x) em termos de \ln(x):
\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}.
Portanto
f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2\,\ln(x)}{\ln(2)}-\frac{\ln(x)}{x\,\ln(2)}.

Passo 3

Derivando termo a termo:
\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}.
\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{2\,\ln(x)}{\ln(2)}=\frac{2}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x\,\ln(2)}.
– Para \displaystyle\frac{\ln(x)}{x\,\ln(2)} consideramos
g(x)=\frac{\ln(x)}{x\,\ln(2)}=\frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{\ln(x)}{x}.
Aplicando regra do quociente em \ln(x)/x:
\frac{d}{dx}\frac{\ln(x)}{x} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln(x)\cdot1}{x^{2}} =\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}.
Logo
\frac{d}{dx}\frac{\ln(x)}{x\,\ln(2)} =\frac{1-\ln(x)}{x^{2}\,\ln(2)},
e com o sinal negativo do termo original:
-\frac{1-\ln(x)}{x^{2}\,\ln(2)}.
Somando tudo:
f'(x) =-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x\,\ln(2)} -\frac{1-\ln(x)}{x^{2}\,\ln(2)}.

Passo 4

Vamos colocar em denominador comum x^{2}\ln(2):
-\frac{1}{x^{2}} =-\frac{\ln(2)}{x^{2}\,\ln(2)}, \quad \frac{2}{x\,\ln(2)} =\frac{2x}{x^{2}\,\ln(2)}.
Assim,
f'(x) =\frac{-\ln(2)-\bigl(1-\ln(x)\bigr)+2x}{x^{2}\,\ln(2)} =\frac{2x+\ln(x)-1-\ln(2)}{x^{2}\,\ln(2)}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+\ln(x)-1-\ln(2)}{x^{2}\,\ln(2)}.

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