Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
H(x)=e^{x^{3}-\ln \left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
H(x)=e^{x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma exponencial composta. Vamos precisar derivar o expoente f(x)=x^{3}-\ln(x^{2}+1) e depois multiplicar pelo valor de H(x).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia à função H(x)=e^{f(x)}, temos
H'(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x).

Passo 3

Agora calculamos
f(x)=x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2}+1)\bigr] =3x^{2}-\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x =3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Substituindo f(x) e f'(x) em H'(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x), obtemos
H'(x) =e^{\,x^{3}-\ln(x^{2}+1)}\;\Bigl(3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).

Resposta

H'(x)=e^{\,x^{3}-\ln(x^{2}+1)}\Bigl(3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).

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