Exercício 36. Calcule a derivada das seguintes funções :
g(x)=\ln \left(3+\operatorname{sen}^{2}(x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\ln\bigl(3+\operatorname{sen}^2(x)\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma função logarítmica, junto com a derivada de \operatorname{sen}^2(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=3+\operatorname{sen}^2(x),
de modo que
g(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia, a derivada de \ln(u) é
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=3+\operatorname{sen}^2(x), temos a soma de uma constante e de uma potência. A derivada de uma constante é zero e, para \operatorname{sen}^2(x), aplicamos novamente a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}^2(x)\bigr] =2\,\operatorname{sen}(x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(x)\bigr] =2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Portanto,
u'(x)=2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão de g'(x), obtemos
g'(x) =\frac{2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{3+\operatorname{sen}^2(x)}.
Opcionalmente, usando a identidade 2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\operatorname{sen}(2x), podemos escrever
g'(x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{3+\operatorname{sen}^2(x)}.

Resposta

g'(x)=\frac{2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{3+\operatorname{sen}^2(x)} \quad\text{ou}\quad g'(x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{3+\operatorname{sen}^2(x)}.

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