Exercício 36. Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{7 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{7x}-1}{x}
que é um caso clássico de limite envolvendo função exponencial. Podemos usar o Teorema de l’Hôpital, que se aplica quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, ou reconhecer a expansão em série de Taylor de e^{7x}.

Passo 2

Como e^{7x}-1\to0 e x\to0, podemos aplicar l’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{7x}-1\bigr)=7e^{7x}, \qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto, pelo critério de l’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{7x}-1}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{7e^{7x}}{1} =7e^{0} =7.

Resposta

7

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