Exercício 36. Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^{2}-1}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x-1}{x^{2}-1}\Bigr)^{x+1}.
Aqui vamos usar conteúdo de álgebra elementar para simplificar a base da potência e depois a continuidade da função a\mapsto a^b quando a>0.

Passo 2

Observamos que
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
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\frac{x-1}{x^{2}-1} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x+1},
para x\neq1.

Passo 3

Substituindo na expressão original, o limite vira
\lim_{x\to1}\Bigl(\tfrac{1}{x+1}\Bigr)^{x+1}.
Como \tfrac{1}{x+1}>0 perto de x=1 e a função (a,b)\mapsto a^b é contínua em a>0, podemos trocar o limite de dentro por seus valores limites.

Passo 4

Ao fazermos x\to1 temos
\frac{1}{x+1}\longrightarrow \frac{1}{1+1}=\frac12, \qquad x+1\longrightarrow 2,
portanto o limite é
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}=\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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