Exercício 36. Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\tfrac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x}.
Este é um limite exponencial do tipo (1+a/x)^{x}, cuja ideia é reescrever a base como 1+ algo que tende a zero e depois usar a propriedade
\lim_{y\to0}(1+y)^{1/y}=e.

Passo 2

Reescrevemos a fração
\frac{x-1}{x+1} =\frac{(x+1)-2}{x+1} =1-\frac{2}{x+1}.
Logo a expressão torna-se
\Bigl(1-\tfrac{2}{x+1}\Bigr)^{x}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{2}{x+1}\Bigr)^{x}
e aplicamos o logaritmo natural:
\ln L =\lim_{x\to\infty}x\;\ln\Bigl(1-\tfrac{2}{x+1}\Bigr).

Passo 4

Para u_x=-2/(x+1), usamos a expansão
\ln(1+u_x)=u_x-\tfrac{u_x^2}{2}+o(u_x^2).
Então
x\,\ln\Bigl(1-\tfrac{2}{x+1}\Bigr) =x\Bigl(-\tfrac{2}{x+1}-\tfrac12\bigl(-\tfrac{2}{x+1}\bigr)^2+o\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr)\Bigr).
Aqui
x\cdot\bigl(-\tfrac{2}{x+1}\bigr)\to-2 \quad\text{e}\quad x\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{4}{(x+1)^2}\to0,
logo \ln L=-2.

Resposta

e^{-2}

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