Exercício 36. O conjunto W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a \leq b \leq c\right\} é un subespaço de R^{3} ?

Passo 1

O enunciado define
W = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid a \le b \le c\}
e pergunta se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}=(0,0,0)\in W.
  2. Fechamento em relação à soma de vetores.
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
0 \le 0 \le 0,
logo \mathbf{0}=(0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Se (a_1,b_1,c_1)\in W e (a_2,b_2,c_2)\in W, então
a_1 \le b_1 \le c_1 \quad\text{e}\quad a_2 \le b_2 \le c_2.
Somando coordenada a coordenada, obtém-se
a_1 + a_2 \;\le\; b_1 + b_2 \;\le\; c_1 + c_2,
o que mostra (a_1+a_2,\,b_1+b_2,\,c_1+c_2)\in W. Portanto, W é fechado na soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Tome \lambda=-1 e o vetor
v = (0,1,2)\in W,
pois 0\le1\le2. Então
-1\cdot v = (0,-1,-2).
Para este vetor verificaríamos 0\le -1\le -2, mas 0\le -1 é falso. Logo -1\cdot v\notin W.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois falha em ser fechado sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados