Exercício 39. O conjunto
é un subespaço de
?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é um subespaço de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
-
, - fechamento sob soma de vetores,
- fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor nulo:
. Neste caso
e
, logo
satisfaz a condição
. Portanto
.
Passo 3
Tomemos dois vetores arbitrários em
:
A soma é
Para pertencer a
, a segunda componente deveria ser
, mas de fato é apenas
. Faltam os termos
, então em geral
logo
.
Passo 4
Como
não é fechado sob soma, não satisfaz as condições de subespaço linear. Não é preciso verificar multiplicação escalar: já basta a falha no fechamento sob adição.
Resposta
Não.
não é subespaço de
pois não é fechado sob adição.