Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de forma indeterminada
e aplicação sucessiva de derivadas no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, a gente separa e simplifica o termo
:
Logo
Agora unimos
num só quociente:
Então o limite vira
Passo 3
Analisando
,
vemos que numerador e denominador vão a zero (forma ), então aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a
.
vemos que numerador e denominador vão a zero (forma
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Fica
Passo 4
Ainda temos indeterminação
(pois
e
), então aplicamos L’Hospital de novo.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim
Passo 5
Agora substituímos
:
Portanto