Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{3 x+1}{x}-\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(\frac{3x+1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\Bigr)
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de forma indeterminada 0/0 e aplicação sucessiva de derivadas no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, a gente separa e simplifica o termo \frac{3x+1}{x}:
\frac{3x+1}{x}=3+\frac{1}{x}.
Logo
\frac{3x+1}{x}-\frac{1}{\sin(x)} =3+\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\Bigr).
Agora unimos 1/x-1/\sin(x) num só quociente:
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)} =\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)}.
Então o limite vira
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(3+\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)}\Bigr) =3+\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)}.

Passo 3

Analisando \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)},
vemos que numerador e denominador vão a zero (forma 0/0), então aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
  • Derivada do numerador \sin(x)-x é \cos(x)-1.
  • Derivada do denominador x\,\sin(x) é \sin(x)+x\cos(x).
    Fica
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}.

Passo 4

Ainda temos indeterminação 0/0 (pois \cos(0)-1=0 e \sin(0)+0\cdot\cos(0)=0), então aplicamos L’Hospital de novo.
  • Derivada de \cos(x)-1 é -\sin(x).
  • Derivada de \sin(x)+x\cos(x) é \cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)=2\cos(x)-x\sin(x).
    Assim
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{-\sin(x)}{2\cos(x)-x\sin(x)}.

Passo 5

Agora substituímos x=0:
\frac{-\sin(0)}{2\cos(0)-0\cdot\sin(0)} =\frac{0}{2\cdot1-0} =0.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin(x)-x}{x\,\sin(x)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0^{+}}\Bigl(\frac{3x+1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\Bigr) =3+0=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados