Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln (x)}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}
usando a Regra de L’Hospital, que serve para tratar indeterminações do tipo 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=1: \ln(1)=0 e 1-1=0, logo temos a forma 0/0. Isso justifica o uso da Regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente:
  • Derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x}.
  • Derivada de x-1 é 1.
Portanto o limite original passa a ser
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1} \;=\; \lim_{x\to1}\frac{\tfrac{1}{x}}{1} \;=\; \lim_{x\to1}\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite sem indeterminação:
\lim_{x\to1}\frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1.

Resposta

1

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