Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(x)-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x) - x}{x^{3}}
usando a Regra de L’Hospital.
Como ao substituir x=0 obtemos a forma \frac{0}{0}, vamos aplicar L’Hospital quantas vezes forem necessárias até retirar a indeterminação.

Passo 2

Primeira aplicação de L’Hospital. Derivamos numerador e denominador: \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[\tan(x)-x\bigr]=\operatorname{sec}^{2}(x)-1 \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[x^{3}\bigr]=3x^{2} Logo a expressão vira
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)-1}{3x^{2}}.
Ainda é indeterminação \tfrac{0}{0}, pois \operatorname{sec}^{2}(0)-1=0 e 3\cdot0^{2}=0.

Passo 3

Segunda aplicação de L’Hospital. Derivamos de novo: \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr] =2\tan(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x) \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[3x^{2}\bigr]=6x Fica
\lim_{x\to0}\frac{2\tan(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)}{6x}.
Ainda é \tfrac{0}{0}, pois \tan(0)=0 e 6\cdot0=0.

Passo 4

Terceira aplicação de L’Hospital. Derivamos de novo: \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[2\tan(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr] =2\operatorname{sec}^{4}(x)+4\tan^{2}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x) \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[6x\bigr]=6 Então a limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{2\operatorname{sec}^{4}(x)+4\tan^{2}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)}{6}.
Agora não há mais indeterminação, pois ao substituir x=0 temos \operatorname{sec}(0)=1 e \tan(0)=0, o numerador vira 2\cdot1+4\cdot0=2 e o denominador é 6, dando 2/6.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados