Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arcsen}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolve limites do tipo indeterminado 0/0 e a aplicação da derivação de funções elementares.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0:
\operatorname{arcsen}(0)=0 \quad\text{e}\quad 0=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0}{0},
logo temos indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} =\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0:
\frac{1}{\sqrt{1-0^2}} =\frac{1}{1} =1.

Resposta

1

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