Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen}(\pi x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{1 - x^{2}}{\operatorname{sen}(\pi x)}
e indica usar a Regra de L’Hospital, pois parece ter forma indeterminada.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1:
1 - 1^{2} = 0 \qquad\text{e}\qquad \operatorname{sen}(\pi\cdot1)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
logo temos 0/0 e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
  • Numerador: \frac{d}{dx}(1 - x^{2}) = -2x.
  • Denominador: \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(\pi x) = \pi\cos(\pi x).
    Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to1}\frac{1 - x^{2}}{\operatorname{sen}(\pi x)} = \lim_{x\to1}\frac{-2x}{\pi\cos(\pi x)}.

Passo 4

Agora fazemos x\to1 na expressão reduzida:
\lim_{x\to1}\frac{-2x}{\pi\cos(\pi x)} =\frac{-2\cdot1}{\pi\cos(\pi)}.

Passo 5

Sabendo que \cos(\pi)=-1, obtemos
\frac{-2}{\pi\cdot(-1)} =\frac{2}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}

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