Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{x \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{(e^{x}-1)^{2}}{x \sin x}
usando a Regra de L’Hospital. Aqui temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}, pois quando x\to0 o numerador vai a (e^0-1)^2=0 e o denominador a 0\cdot\sin0=0. Para resolver, aplicaremos a Regra de L’Hospital sucessivas vezes até obter uma forma determinada.

Passo 2

Como verificamos indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, aplicamos a Regra de L’Hospital pela primeira vez, isto é, diferenciamos numerador e denominador separadamente. O numerador é
N(x) = (e^x - 1)^2,
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N'(x) = 2\,(e^x - 1)\,\frac{d}{dx}(e^x - 1) = 2\,(e^x - 1)\,e^x.
O denominador é
D(x) = x\,\sin x,
e pela regra do produto
D'(x) = \frac{d}{dx}(x)\,\sin x + x\,\frac{d}{dx}(\sin x) = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x.
Portanto, a expressão passa a
\lim_{x \to 0} \frac{N'(x)}{D'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\,(e^x - 1)\,e^x}{\sin x + x\cos x}.

Passo 3

Avaliamo essa nova expressão em x=0: o numerador vai a
2\,(e^0 - 1)\,e^0 = 2\cdot 0\cdot 1 = 0,
e o denominador a
\sin0 + 0\cdot\cos0 = 0 + 0 = 0.
Ainda temos a forma \tfrac{0}{0}, então aplicamos a Regra de L’Hospital pela segunda vez, diferenciando novamente numerador e denominador.

Passo 4

Diferenciando o numerador 2\,(e^x - 1)\,e^x usamos a regra do produto em f(x)=2\,(e^x-1) e g(x)=e^x:
\frac{d}{dx}\bigl[2\,(e^x-1)\,e^x\bigr] =2\bigl[(e^x-1)\,e^x\bigr]'\;=\;2\bigl[e^x\cdot e^x + (e^x-1)\cdot e^x\bigr] =2\bigl[e^{2x} + e^{2x}-e^x\bigr] =2\bigl(2e^{2x}-e^x\bigr) =4e^{2x}-2e^x.
Diferenciando o denominador \sin x + x\cos x temos
\frac{d}{dx}(\sin x + x\cos x) =\cos x + \bigl(\cos x - x\sin x\bigr) =2\cos x - x\sin x.
Assim, o limite fica
\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x}-2e^x}{2\cos x - x\sin x}.

Passo 5

Agora avaliamos diretamente em x=0:
o numerador é
4e^{2\cdot0}-2e^0 =4\cdot1 -2\cdot1 =2,
e o denominador é
2\cos0 - 0\cdot\sin0 =2\cdot1 -0 =2.
Portanto o limite é
\frac{2}{2}=1.

Resposta

1

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