Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular
usando a Regra de L’Hospital. Aqui temos uma forma indeterminada
, pois quando
o numerador vai a
e o denominador a
. Para resolver, aplicaremos a Regra de L’Hospital sucessivas vezes até obter uma forma determinada.
Passo 2
Como verificamos indeterminação do tipo
, aplicamos a Regra de L’Hospital pela primeira vez, isto é, diferenciamos numerador e denominador separadamente. O numerador é
logo
O denominador é
e pela regra do produto
Portanto, a expressão passa a
Passo 3
Avaliamo essa nova expressão em
: o numerador vai a
e o denominador a
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hospital pela segunda vez, diferenciando novamente numerador e denominador.
Passo 4
Diferenciando o numerador
usamos a regra do produto em
e
:
Diferenciando o denominador
temos
Assim, o limite fica
Passo 5
Agora avaliamos diretamente em
:
o numerador é
o numerador é
e o denominador é
Portanto o limite é