Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen}(x) \cos (x)}{\operatorname{tg}(x)-x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)\cos(x)}{\tan(x) - x}
usando a Regra de L’Hospital. Aqui vamos lidar com uma indeterminação do tipo 0/0 e precisaremos das derivadas de funções trigonométricas e da regra do produto.

Passo 2

Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=0:
\text{numerador} = 0 - \sin(0)\cos(0) = 0,\quad \text{denominador} = \tan(0) - 0 = 0.
Portanto é um caso 0/0, condição para aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Seja
f(x) = x - \sin(x)\cos(x),
então, pela regra do produto,
f'(x) = 1 - \bigl[\cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x)\bigr] = 1 - \bigl(\cos^2(x)-\sin^2(x)\bigr) = 1 - \cos(2x).
E seja
g(x) = \tan(x) - x,
então
g'(x) = \operatorname{sec}^2(x) - 1 = \tan^2(x).
A nova razão fica
\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{1 - \cos(2x)}{\tan^2(x)}.

Passo 4

Para simplificar usamos a identidade
1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x),
e lembramos que \tan^2(x)=\sin^2(x)/\cos^2(x). Então
\frac{1 - \cos(2x)}{\tan^2(x)} = \frac{2\sin^2(x)}{\sin^2(x)/\cos^2(x)} = 2\cos^2(x).

Passo 5

Basta agora fazer x\to0:
\lim_{x\to0}2\cos^2(x) = 2\cdot1 = 2.

Resposta

2

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