Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede
usando a Regra de L’Hospital. Aqui vamos lidar com uma indeterminação do tipo
e precisaremos das derivadas de funções trigonométricas e da regra do produto.
Passo 2
Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação substituindo
:
Portanto é um caso
, condição para aplicar L’Hospital.
Passo 3
Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Seja
então, pela regra do produto,
E seja
então
A nova razão fica
Passo 4
Para simplificar usamos a identidade
e lembramos que
. Então
Passo 5
Basta agora fazer
: