Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
(\mathbf{x x v}) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln ^{2}(x)}{\ln (\operatorname{sen}(x))}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln^2(x)}{\ln(\sin(x))}
usando a Regra de L’Hospital. Vamos precisar reconhecer o tipo de indeterminação e depois derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o comportamento das partes:
– Numerador: \ln^2(x)\to(+\infty) quando x\to0^+.
– Denominador: \ln(\sin(x)). Como \sin(x)\sim x, temos \ln(\sin(x))\sim\ln(x)\to-\infty.
Logo é uma forma \infty/\infty, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln^2(x)=2\ln(x)\cdot\frac1x.
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(\sin(x))=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\cot(x).
Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln^2(x)}{\ln(\sin(x))} =\lim_{x\to0^+}\frac{2\ln(x)/x}{\cot(x)} =2\ln(x)\,\frac{1}{x\cot(x)} =2\ln(x)\,\frac{\sin(x)}{x\cos(x)}.

Passo 4

Para x\to0^+ temos \sin(x)/x\to1 e \cos(x)\to1. Então a expressão acima tende a
2\ln(x)\,\frac{\sin(x)}{x\cos(x)} \longrightarrow2\ln(x)\cdot1\cdot1 =2\ln(x).
E \ln(x)\to-\infty, logo 2\ln(x)\to-\infty.

Passo 5

Concluímos que, após aplicar L’Hospital, o limite passa a ser 2\ln(x) que diverge para -\infty. Portanto a forma original também diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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