Exercício 37. O conjunto W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a b=0\right\} é un subespaço de R^{3} ?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\displaystyle W = \{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 \mid a\,b = 0\}
e pergunta se W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para responder, vamos usar o critério de subespaço vetorial: verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando o critério, um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. O vetor zero (0,0,0) pertence a W.
  2. Para todo u,v\in W, vale u+v\in W.
  3. Para todo u\in W e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, vale \lambda u\in W.

Passo 3

Verificamos o primeiro ponto substituindo (0,0,0) em a\,b=0:
0\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 4

Agora testamos a adição. Tomemos
u = (1,0,0)\quad\text{e}\quad v = (0,1,0).
Ambos satisfazem a\,b=0, pois 1\cdot 0=0 e 0\cdot 1=0. Mas
u+v = (1,0,0)+(0,1,0) = (1,1,0),
e em (1,1,0) temos
1\cdot 1 = 1 \neq 0,
portanto u+v\notin W.

Passo 5

Como W não é fechado sob adição, falha o critério de subespaço.

Resposta

Não, W não é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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