Exercício 37. O conjunto
é un subespaço de
?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pergunta se é um subespaço de
. Para responder, vamos usar o critério de subespaço vetorial: verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
e pergunta se
Passo 2
Lembrando o critério, um subconjunto
é subespaço se, e somente se, satisfaz:
- O vetor zero
pertence a . - Para todo
, vale . - Para todo
e todo escalar , vale .
Passo 3
Verificamos o primeiro ponto substituindo
em
:
logo
.
Passo 4
Agora testamos a adição. Tomemos
Ambos satisfazem
, pois
e
. Mas
e em
temos
portanto
.
Passo 5
Como
não é fechado sob adição, falha o critério de subespaço.
Resposta
Não,
não é um subespaço de
.