Exercício 2. Sejam
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 7 & -1 \\\\ 4 & -8 & 9 \end{array}\right)
Encontre
A B e (A B) C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & -4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[3pt] -6 & 7\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & -3 & 4 \\[3pt] 2 & 6 & -5\end{pmatrix}
e pede para calcular AB e (AB)C. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes: para multiplicar uma matriz de tamanho m\times n por outra de tamanho n\times p, usamos
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
verificando sempre a compatibilidade de dimensões.]

Passo 2

Vamos calcular primeiro
AB = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 3 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 0 \\[3pt] -6 & 7\end{pmatrix}.
Usando a definição, os elementos de AB são
\begin{aligned} (AB)_{11} &= 1\cdot5 + 2\cdot(-6) = 5 - 12 = -7,\\\ (AB)_{12} &= 1\cdot0 + 2\cdot7 = 14,\\\ (AB)_{21} &= 3\cdot5 + (-4)\cdot(-6) = 15 + 24 = 39,\\\ (AB)_{22} &= 3\cdot0 + (-4)\cdot7 = -28. \end{aligned}
Logo,
AB = \begin{pmatrix}-7 & 14 \\[3pt] 39 & -28\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos
(AB)C = \begin{pmatrix}-7 & 14 \\[3pt] 39 & -28\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -3 & 4 \\[3pt] 2 & 6 & -5\end{pmatrix}.
Verificamos que a multiplicação 2\times2 por 2\times3 é válida e gera uma matriz 2\times3. Os elementos são
\begin{aligned} \bigl((AB)C\bigr)_{11} &= (-7)\cdot1 + 14\cdot2 = -7 + 28 = 21,\\\ \bigl((AB)C\bigr)_{12} &= (-7)\cdot(-3) + 14\cdot6 = 21 + 84 = 105,\\\ \bigl((AB)C\bigr)_{13} &= (-7)\cdot4 + 14\cdot(-5) = -28 -70 = -98,\\\ \bigl((AB)C\bigr)_{21} &= 39\cdot1 + (-28)\cdot2 = 39 -56 = -17,\\\ \bigl((AB)C\bigr)_{22} &= 39\cdot(-3) + (-28)\cdot6 = -117 -168 = -285,\\\ \bigl((AB)C\bigr)_{23} &= 39\cdot4 + (-28)\cdot(-5) = 156 +140 = 296. \end{aligned}
Portanto,
(AB)C = \begin{pmatrix}21 & 105 & -98 \\[3pt] -17 & -285 & 296\end{pmatrix}.]

Resposta

AB = \begin{pmatrix}-7 & 14 \\[3pt] 39 & -28\end{pmatrix}
(AB)C = \begin{pmatrix}21 & 105 & -98 \\[3pt] -17 & -285 & 296\end{pmatrix}]

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