Exercício 37 : Desenvolva usando as propriedades:
\ln \left(\sqrt{x \cdot y^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver
\ln\bigl(\sqrt{x\,y^{3}}\bigr)
usando as propriedades de logaritmo: a propriedade do radical, do produto e da potência.

Passo 2

Primeiro, lembramos que \sqrt{A}=A^{\tfrac12}. Então
\ln\bigl(\sqrt{x\,y^{3}}\bigr) =\ln\bigl((x\,y^{3})^{\tfrac12}\bigr).
Pela propriedade de potência dentro do logaritmo, trazemos o expoente para fora:
\ln\bigl((x\,y^{3})^{\tfrac12}\bigr) =\tfrac12\,\ln\bigl(x\,y^{3}\bigr).

Passo 3

Em seguida, aplicamos a propriedade do logaritmo do produto, que diz
\ln\bigl(x\,y^{3}\bigr) =\ln(x)+\ln\bigl(y^{3}\bigr).
Logo
\tfrac12\,\ln\bigl(x\,y^{3}\bigr) =\tfrac12\bigl[\ln(x)+\ln\bigl(y^{3}\bigr)\bigr].

Passo 4

Por fim, usamos a propriedade do logaritmo da potência, \ln\bigl(y^{3}\bigr)=3\,\ln(y). Assim
\tfrac12\bigl[\ln(x)+\ln\bigl(y^{3}\bigr)\bigr] =\tfrac12\bigl[\ln(x)+3\,\ln(y)\bigr] =\tfrac12\,\ln(x)+\tfrac{3}{2}\,\ln(y).

Resposta

\ln\bigl(\sqrt{x\,y^{3}}\bigr) =\tfrac12\,\ln(x)+\tfrac{3}{2}\,\ln(y).

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