Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{2x^{2}-3x+1}{x+2}.
Informações dadas: o numerador é 2x^{2}-3x+1 e o denominador é x+2. Atenção: a função não está definida em x=-2, portanto qualquer derivada só faz sentido para x\neq -2.

Passo 2

O que vamos usar (mini-aula rápida e sem enrolação):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. A fórmula diz: derive o numerador u', multiplique pelo denominador v; subtraia o numerador u vezes a derivada do denominador v'; divida tudo pelo quadrado do denominador.
  • Regra do polinómio (power rule): para g(x)=x^{n} temos g'(x)=n x^{n-1}. Para soma e multiplicação por constante usamos linearidade: (a h(x))' = a h'(x) e (h_1+h_2)'=h_1'+h_2'.
    Vou aplicar a regra do quociente (método direto). Depois mostro um método alternativo (divisão polinomial) para conferir o resultado — isso ajuda a entender e a ter um plano B na prova.

Passo 3

Identificação das funções u e v:
u(x)=2x^{2}-3x+1,\qquad v(x)=x+2.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) usando a regra do polinómio.

Passo 4

Derivadas de u e v:
Usando (x^{2})'=2x e (x)'=1,
u'(x)=(2x^{2})'-(3x)'+(1)'=2\cdot 2x -3\cdot 1 + 0 = 4x-3,
v'(x)=(x+2)'=1+0=1.
Expliquei: para 2x^{2} o fator 2 sai e aplica-se (x^{2})'=2x, e constantes derivam zero.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}} =\frac{(4x-3)(x+2)-(2x^{2}-3x+1)\cdot 1}{(x+2)^{2}}.
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.

Passo 6

Expansão e simplificação do numerador:
Primeiro calcule (4x-3)(x+2):
(4x-3)(x+2)=4x\cdot x + 4x\cdot 2 -3\cdot x -3\cdot 2 = 4x^{2}+8x-3x-6 = 4x^{2}+5x-6.
Agora subtrai 2x^{2}-3x+1:
4x^{2}+5x-6 - (2x^{2}-3x+1) = 4x^{2}+5x-6 -2x^{2}+3x -1.
Agrupando termos semelhantes:
(4x^{2}-2x^{2}) + (5x+3x) + (-6-1) = 2x^{2}+8x-7.

Passo 7

Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{2x^{2}+8x-7}{(x+2)^{2}},\qquad x\neq -2.
Antes de encerrar, vou mostrar um método alternativo (divisão polinomial) para confirmar — isso dá segurança na prova.

Passo 8

Método alternativo — divisão do polinómio (verificação):
Dividindo 2x^{2}-3x+1 por x+2 (divisão sintética com raiz -2):
Coeficientes 2,\,-3,\,1.
  • Baixa 2.
  • Multiplica por -2 -4. Soma com -3 -7.
  • Multiplica -7 por -2 14. Soma com 1 15.
    Logo
\frac{2x^{2}-3x+1}{x+2}=2x-7+\frac{15}{x+2}.
Derivando termo a termo:
(2x-7)'=2,\qquad \left(\frac{15}{x+2}\right)'=15\cdot\left(\frac{1}{x+2}\right)'=15\cdot\left(-\frac{1}{(x+2)^{2}}\right)=-\frac{15}{(x+2)^{2}}.
Somando:
f'(x)=2-\frac{15}{(x+2)^{2}}=\frac{2(x+2)^{2}-15}{(x+2)^{2}}.
Expandindo 2(x+2)^{2}-15:
2(x^{2}+4x+4)-15=2x^{2}+8x+8-15=2x^{2}+8x-7,
o que coincide com o resultado anterior.

Passo 9

Conclusão: a derivada obtida pelas duas abordagens é a mesma e válida para x\neq -2. Respire fundo — está correta e verificada!

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x^{2}+8x-7}{(x+2)^{2}}

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