Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. Atenção: a função não está definida em
, portanto qualquer derivada só faz sentido para
.
Passo 2
O que vamos usar (mini-aula rápida e sem enrolação):
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
é o numerador e
é o denominador. A fórmula diz: derive o numerador
, multiplique pelo denominador
; subtraia o numerador
vezes a derivada do denominador
; divida tudo pelo quadrado do denominador.
- Regra do polinómio (power rule): para
temos . Para soma e multiplicação por constante usamos linearidade: e .
Vou aplicar a regra do quociente (método direto). Depois mostro um método alternativo (divisão polinomial) para conferir o resultado — isso ajuda a entender e a ter um plano B na prova.
Passo 3
Identificação das funções
e
:
Agora calculamos
e
usando a regra do polinómio.
Passo 4
Derivadas de
e
:
Usando e
,
Usando
Expliquei: para
o fator
sai e aplica-se
, e constantes derivam zero.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Passo 6
Expansão e simplificação do numerador:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora subtrai
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Portanto a derivada simplificada é
Antes de encerrar, vou mostrar um método alternativo (divisão polinomial) para confirmar — isso dá segurança na prova.
Passo 8
Método alternativo — divisão do polinómio (verificação):
Dividindo por
(divisão sintética com raiz
):
Coeficientes .
Dividindo
Coeficientes
- Baixa
. - Multiplica por
→ . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → .
Logo
Derivando termo a termo:
Somando:
Expandindo
:
o que coincide com o resultado anterior.
Passo 9
Conclusão: a derivada obtida pelas duas abordagens é a mesma e válida para
. Respire fundo — está correta e verificada!