Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para calcular a derivada de
.\n
Informações relevantes do enunciado:\n
A função é dada explicitamente por
.\n
Devemos encontrar
, a derivada em termos de
.\n
Nada mais será assumido; vamos começar a análise e resolver passo a passo.
Informações relevantes do enunciado:\n
Nada mais será assumido; vamos começar a análise e resolver passo a passo.
Passo 2
Um truque muito útil aqui é observar se o numerador pode ser fatorado de forma que cancele parte do denominador. Vou recordar uma fatoração padrão que costuma aparecer em provas:\n
A fórmula da diferença de cubos é
A fórmula da diferença de cubos é
Isso vale para quaisquer
e
. Aqui podemos aplicar com
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da diferença de cubos ao numerador temos
Portanto podemos reescrever
como
Passo 4
Agora podemos cancelar o fator
no numerador com o mesmo fator no denominador — mas antes é importante verificar se isso é legal no domínio real: se o denominador fosse zero em algum ponto real, não poderíamos simplesmente substituir.\n
Vamos checar as raízes de usando o discriminante:
Vamos checar as raízes de
Como
, a quadrática não tem raízes reais; ou seja,
para todo
. Portanto, para todos os
reais a cancelação é válida e obtemos
Passo 5
Agora que simplificamos a função para uma função linear bem simples, usamos a regra básica de derivação para polinômios:\n
A derivada de em relação a
é
. A derivada de uma constante é
. Logo, para a função simplificada
A derivada de
temos
Então a derivada é constante igual a
.
Passo 6
Vou fazer uma verificação alternativa (útil para prova): aplicar a regra do quociente diretamente e mostrar que dá o mesmo resultado. A regra do quociente diz que, para
e
,
Tomando
e
, temos
e
. Portanto
Passo 7
Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo:\n
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo (a subtrair):
Subtraindo:
Note que este polinômio é exatamente
, pois
Portanto o numerador é
e assim
Isso confirma o resultado obtido pela simplificação anterior.