Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1} e pede para calcular a derivada de f.\n
Informações relevantes do enunciado:\n
\bullet A função é dada explicitamente por \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1}.\n
\bullet Devemos encontrar f'(x), a derivada em termos de x.\n
Nada mais será assumido; vamos começar a análise e resolver passo a passo.

Passo 2

Um truque muito útil aqui é observar se o numerador pode ser fatorado de forma que cancele parte do denominador. Vou recordar uma fatoração padrão que costuma aparecer em provas:\n
A fórmula da diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Isso vale para quaisquer a e b. Aqui podemos aplicar com a=x e b=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de cubos ao numerador temos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Portanto podemos reescrever f(x) como
f(x)=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1}.

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator \displaystyle x^{2}+x+1 no numerador com o mesmo fator no denominador — mas antes é importante verificar se isso é legal no domínio real: se o denominador fosse zero em algum ponto real, não poderíamos simplesmente substituir.\n
Vamos checar as raízes de \displaystyle x^{2}+x+1 usando o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais; ou seja, \displaystyle x^{2}+x+1\neq0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, para todos os x reais a cancelação é válida e obtemos
f(x)=x-1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora que simplificamos a função para uma função linear bem simples, usamos a regra básica de derivação para polinômios:\n
A derivada de \displaystyle x em relação a x é 1. A derivada de uma constante é 0. Logo, para a função simplificada
f(x)=x-1,
temos
f'(x)=1-0=1.
Então a derivada é constante igual a 1.

Passo 6

Vou fazer uma verificação alternativa (útil para prova): aplicar a regra do quociente diretamente e mostrar que dá o mesmo resultado. A regra do quociente diz que, para u(x) e v(x),
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Tomando u(x)=x^{3}-1 e v(x)=x^{2}+x+1, temos u'(x)=3x^{2} e v'(x)=2x+1. Portanto
f'(x)=\frac{3x^{2}(x^{2}+x+1)-(x^{3}-1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Passo 7

Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo:\n
Primeiro termo:
3x^{2}(x^{2}+x+1)=3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}.
Segundo termo (a subtrair):
(x^{3}-1)(2x+1)=2x^{4}+x^{3}-2x-1.
Subtraindo:
\begin{aligned} &\bigl(3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\bigr)-\bigl(2x^{4}+x^{3}-2x-1\bigr)\\\ &= (3x^{4}-2x^{4})+(3x^{3}-x^{3})+3x^{2}+2x+1\\\ &= x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1. \end{aligned}
Note que este polinômio é exatamente (x^{2}+x+1)^{2}, pois
(x^{2}+x+1)^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1.
Portanto o numerador é (x^{2}+x+1)^{2} e assim
f'(x)=\frac{(x^{2}+x+1)^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}=1.
Isso confirma o resultado obtido pela simplificação anterior.

Resposta

f'(x)=1

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