Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
Informações dadas importantes: a função é o quociente do numerador
pelo denominador
. Devemos encontrar
para os pontos do domínio da função. Observação útil (sem resolver ainda): o denominador é um polinômio quadrático que não tem raízes reais (discriminante negativo), então não haverá pontos onde a função esteja indefinida — o domínio é
.
Passo 2
Escolho usar a regra do quociente, que é a maneira direta e padrão para derivar uma razão de duas funções. A regra do quociente diz: se temos
, então
Aqui
é a função no numerador e
é a função no denominador. A fórmula significa: derivar o numerador e multiplicar pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identificamos as partes e calculamos as derivadas simples:
Derivando:
Explicação curta: a derivada de
é
; a derivada de
é
e a derivada de
é
; a constante
some.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos
:
Subtraindo:
Portanto
Passo 6
Checagem rápida do domínio da derivada: como o discriminante do denominador é
o polinômio
não zera para
e é sempre positivo; logo o denominador ao quadrado é sempre positivo e
está definida em todo
. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo dá para seguir esses passos com calma!