Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2x+5}.
Informações dadas importantes: a função é o quociente do numerador \,x\, pelo denominador \,x^{2}+2x+5. Devemos encontrar f'(x) para os pontos do domínio da função. Observação útil (sem resolver ainda): o denominador é um polinômio quadrático que não tem raízes reais (discriminante negativo), então não haverá pontos onde a função esteja indefinida — o domínio é \mathbb{R}.

Passo 2

Escolho usar a regra do quociente, que é a maneira direta e padrão para derivar uma razão de duas funções. A regra do quociente diz: se temos \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x) é a função no numerador e v(x) é a função no denominador. A fórmula significa: derivar o numerador e multiplicar pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificamos as partes e calculamos as derivadas simples:
u(x)=x,\qquad v(x)=x^{2}+2x+5.
Derivando:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x+2.
Explicação curta: a derivada de x é 1; a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de 2x é 2; a constante 5 some.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente substituindo u, u', v e v':
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot\big(x^{2}+2x+5\big)-x\cdot\big(2x+2\big)}{\big(x^{2}+2x+5\big)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos x\cdot(2x+2):
x\cdot(2x+2)=2x^{2}+2x.
Subtraindo:
x^{2}+2x+5-(2x^{2}+2x)=(x^{2}-2x^{2})+(2x-2x)+5=-x^{2}+0+5=5-x^{2}.
Portanto
f'(x)=\frac{5-x^{2}}{\big(x^{2}+2x+5\big)^{2}}.

Passo 6

Checagem rápida do domínio da derivada: como o discriminante do denominador é
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0,
o polinômio x^{2}+2x+5 não zera para x\in\mathbb{R} e é sempre positivo; logo o denominador ao quadrado é sempre positivo e f'(x) está definida em todo \mathbb{R}. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo dá para seguir esses passos com calma!

Resposta

f'(x)=\frac{5-x^{2}}{\big(x^{2}+2x+5\big)^{2}}

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