Exercício 40. Encontre os valores máximo e mínimo de
f(x)=x^{2}-4 x+3
no intervalo [0,5].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-4x+3 definida no intervalo [0,5] e pede para encontrar os valores máximo e mínimo de f nesse intervalo. Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • A função é um polinômio (logo é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}), portanto não há problema em procurar extremos no intervalo fechado.
  • O intervalo onde buscamos os extremos é [0,5].

Passo 2

Como estamos em um intervalo fechado, a estratégia padrão (e prática para prova) é: procurar pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) e também avaliar a função nas extremidades do intervalo. O maior valor entre esses candidatos será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto. Vou usar o método da derivada porque é direto, mecânico e fácil de executar sem calculadora. (Observação: para uma parábola também poderíamos usar a fórmula do vértice, e eu confirmarei esse resultado depois.)

Passo 3

Calculemos a derivada de f. Lembrando que a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -4x é -4:
f'(x)=2x-4.
Explicação curta: a derivada f'(x) dá a inclinação instantânea da curva em cada ponto; pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 (ou quando f' não existe).

Passo 4

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
2x-4=0 \implies 2x=4 \implies x=2.
Verificamos que x=2 pertence ao intervalo [0,5], então é um candidato a extremo absoluto.

Passo 5

Classificação do ponto crítico: podemos usar a segunda derivada para saber se é mínimo ou máximo local. Calcule a segunda derivada:
f''(x)=2.
Como f''(2)=2>0, a concavidade é para cima e x=2 é um mínimo local. Em uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo isso confirma que é mínimo (o gráfico abre para cima).

Passo 6

Agora avaliamos f nos candidatos: x=0, x=2 (ponto crítico) e x=5 (extremidade). Calculemos passo a passo.
Para x=0:
f(0)=0^{2}-4\cdot 0+3=3.
Para x=2:
f(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
Para x=5:
f(5)=5^{2}-4\cdot 5+3=25-20+3=8.

Passo 7

Compare os valores obtidos: f(0)=3, f(2)=-1, f(5)=8. O menor valor entre esses é -1 em x=2; o maior é 8 em x=5. Assim, o mínimo absoluto no intervalo é -1 em x=2 e o máximo absoluto é 8 em x=5.

Passo 8

Breve verificação alternativa (dica para prova): para uma parábola ax^{2}+bx+c com a>0 o vértice dá o mínimo e sua abscissa é x=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=-4, então
x_v=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2,
o que coincide com o ponto crítico encontrado. Isso reforça que x=2 é o vértice (mínimo) e confirma a consistência dos cálculos.

Resposta

Mínimo: f(2)=-1 em x=2.
Máximo: f(5)=8 em x=5.

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