Exercício 40. Encontre os valores máximo e mínimo de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para encontrar os valores máximo e mínimo de
nesse intervalo. Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
- A função é um polinômio (logo é contínua e diferenciável em todo
), portanto não há problema em procurar extremos no intervalo fechado. - O intervalo onde buscamos os extremos é
.
Passo 2
Como estamos em um intervalo fechado, a estratégia padrão (e prática para prova) é: procurar pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) e também avaliar a função nas extremidades do intervalo. O maior valor entre esses candidatos será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto. Vou usar o método da derivada porque é direto, mecânico e fácil de executar sem calculadora. (Observação: para uma parábola também poderíamos usar a fórmula do vértice, e eu confirmarei esse resultado depois.)
Passo 3
Calculemos a derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
:
Explicação curta: a derivada
dá a inclinação instantânea da curva em cada ponto; pontos críticos ocorrem quando
(ou quando
não existe).
Passo 4
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Verificamos que
pertence ao intervalo
, então é um candidato a extremo absoluto.
Passo 5
Classificação do ponto crítico: podemos usar a segunda derivada para saber se é mínimo ou máximo local. Calcule a segunda derivada:
Como
, a concavidade é para cima e
é um mínimo local. Em uma parábola com coeficiente de
positivo isso confirma que é mínimo (o gráfico abre para cima).
Passo 6
Agora avaliamos
nos candidatos:
,
(ponto crítico) e
(extremidade). Calculemos passo a passo.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Compare os valores obtidos:
,
,
. O menor valor entre esses é
em
; o maior é
em
. Assim, o mínimo absoluto no intervalo é
em
e o máximo absoluto é
em
.
Passo 8
Breve verificação alternativa (dica para prova): para uma parábola
com
o vértice dá o mínimo e sua abscissa é
. Aqui
e
, então
o que coincide com o ponto crítico encontrado. Isso reforça que
é o vértice (mínimo) e confirma a consistência dos cálculos.
Resposta
Mínimo:
em
.
Máximo: em
.
Máximo: