Exercício 38. Numa Universidade, na confecção do horário escolar, seis turmas devem ser atribuídas a três professores, de modo que cada professor fique com duas turmas. Determine o número de formas de se fazer a distribuição.

Passo 1

O enunciado diz que há seis turmas distintas e três professores distintos, e cada professor deve ficar com exatamente duas turmas. O que precisamos é contar de quantas formas podemos distribuir essas turmas usando:
– A fórmula de combinação sem repetição
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
– O Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto), que diz que se uma tarefa pode ser feita de a maneiras e outra de b maneiras, as duas juntas podem ser feitas de a\times b maneiras.

Passo 2

Escolhemos primeiro as duas turmas que o professor A vai dar. Como há 6 turmas e queremos escolher 2, o número de maneiras é
\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15.

Passo 3

Sobram 4 turmas. Agora escolhemos as duas turmas para o professor B. O número de maneiras é
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6.

Passo 4

Restam exatamente 2 turmas, que obrigatoriamente vão para o professor C. O número de maneiras de escolher essas duas turmas é
\binom{2}{2} = 1.

Passo 5

Pelos passos anteriores, aplicando a regra do produto, o total de distribuições é
15 \times 6 \times 1 = 90.

Resposta

90

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