Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
F(x)=\frac{\cos (x) \operatorname{cotg}(\mathrm{x})}{\operatorname{sec} (\mathrm{x})-\cos (\mathrm{x})}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\frac{\cos(x)\,\cot(x)}{\operatorname{sec}(x)-\cos(x)}.
O conteúdo principal é derivação de funções trigonométricas e uso de identidades para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Simplificamos o numerador usando \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}:
\cos(x)\,\cot(x) =\cos(x)\,\frac{\cos(x)}{\sin(x)} =\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}.

Passo 3

Simplificamos o denominador usando \operatorname{sec}(x)=\frac1{\cos(x)}:
\operatorname{sec}(x)-\cos(x) =\frac{1}{\cos(x)}-\cos(x) =\frac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)} =\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}.

Passo 4

Formamos a fração simplificada:
F(x) =\frac{\displaystyle \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}} {\displaystyle \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}} =\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =\frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} =\cot^3(x).

Passo 5

Agora derivamos F(x)=\cot^3(x) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\cot^3(x) =3\,\cot^2(x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\cot(x)\bigr].

Passo 6

Sabendo que \frac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x), concluímos:
F'(x)=3\,\cot^2(x)\,(-\csc^2(x)) =-3\,\cot^2(x)\,\csc^2(x).

Resposta

F'(x)=-3\,\cot^2(x)\,\csc^2(x)

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