Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\frac{x^{3} \operatorname{sec} (\mathrm{x}) \operatorname{tg}(\mathrm{x})}{\left(x^{2}+1\right) \cos (x)}

Passo 1

O enunciado dá uma função
f(x)=\frac{x^{3}\operatorname{sec}(x)\tan(x)}{(x^{2}+1)\cos(x)}
e pede f'(x). Vamos usar diferenciação logarítmica, que é ótima para produtos, quocientes e potências.

Passo 2

Primeiro simplificamos trigonometria:
\operatorname{sec}(x)=1/\cos(x) e \tan(x)=\sin(x)/\cos(x), então
f(x) =\frac{x^{3}\,\frac{1}{\cos x}\,\frac{\sin x}{\cos x}}{(x^{2}+1)\cos x} =\frac{x^{3}\sin x}{(x^{2}+1)\,\cos^{3}x}\,.

Passo 3

Aplicamos logaritmo em ambos os lados para derivar mais fácil:
\ln f(x) =3\ln x+\ln(\sin x)-3\ln(\cos x)-\ln(x^{2}+1).

Passo 4

Derivando cada termo em x, obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{3}{x} +\frac{d}{dx}[\ln(\sin x)] -3\,\frac{d}{dx}[\ln(\cos x)] -\frac{d}{dx}[\ln(x^{2}+1)].
Como
\frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]=\cot x,\quad \frac{d}{dx}[\ln(\cos x)]=-\,\tan x,\quad \frac{d}{dx}[\ln(x^{2}+1)]=\frac{2x}{x^{2}+1},
vem
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{3}{x}+\cot x-3(-\tan x)-\frac{2x}{x^{2}+1} =\frac{3}{x}+\cot x+3\tan x-\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos ambos os lados por f(x):
f'(x) =f(x)\Bigl(\frac{3}{x}+\cot x+3\tan x-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).
Substituindo f(x)=\dfrac{x^{3}\sin x}{(x^{2}+1)\cos^{3}x}, temos

Resposta

f'(x) =\frac{x^{3}\sin x}{(x^{2}+1)\cos^{3}x}\,\Bigl(\frac{3}{x}+\cot x+3\tan x-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).

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