Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{arccos} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\biggr).
O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente. Vamos definir uma função interna u(x) e depois aplicar a regra da cadeia para \operatorname{arccos}(u).

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Para encontrar f'(x), primeiro calculamos u'(x) usando a regra do quociente. Chamemos
v(x)=x,\quad w(x)=\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2}.
Então
u(x)=\frac{v(x)}{w(x)},\quad u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{[w(x)]^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas auxiliares:
v'(x)=1, \qquad w'(x)=\frac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Substituindo em u'(x):
u'(x) =\frac{1\cdot\sqrt{1-x^{2}} \;-\; x\cdot\bigl(-\tfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\bigr)} {(\sqrt{1-x^{2}})^{2}} =\frac{\sqrt{1-x^{2}} + \tfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} =\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=\operatorname{arccos}(u(x)):
f'(x) =-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^{2}}}.

Passo 5

Precisamos de 1-[u(x)]^{2}:
1-\biggl(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\biggr)^{2} =1-\frac{x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1-x^{2}-x^{2}}{1-x^{2}} =\frac{1-2x^{2}}{1-x^{2}}.
Logo
\sqrt{1-[u(x)]^{2}} =\sqrt{\frac{1-2x^{2}}{1-x^{2}}} =\frac{\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Substituindo u'(x)=\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} e esse resultado em f'(x):
f'(x) =-\frac{\displaystyle\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}} {\displaystyle\frac{\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}} =-\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}\;\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-2x^{2}}} =-\frac{1}{(1-x^{2})\,\sqrt{1-2x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(1-x^{2})\,\sqrt{1-2x^{2}}}.

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