Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo principal aqui é lidar com a forma indeterminada
, transformando em um limite de tipo
via logaritmo.
Passo 2
Defina
Para tratar a forma
, tomamos o logaritmo natural e estudamos
Passo 3
Observe que, quando
, temos
portanto
é uma indeterminação do tipo
. Reescrevemos como quociente para aplicar L’Hospital:
Passo 4
Agora o limite de
é
que é
. Podemos, então, aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a
.
Passo 5
Calculemos as derivadas:
– Derivada do numerador:
– Derivada do denominador:
Pela Regra de L’Hospital,
Passo 6
Como
, temos