Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo principal aqui é lidar com a forma indeterminada 1^{\infty}, transformando em um limite de tipo \tfrac{0}{0} via logaritmo.

Passo 2

Defina
y = \Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x}.
Para tratar a forma 1^{\infty}, tomamos o logaritmo natural e estudamos
\ln y = x \,\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).

Passo 3

Observe que, quando x\to+\infty, temos
x \to +\infty \quad\text{e}\quad \ln\!\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\sim \frac{1}{x^{2}}\to 0,
portanto x\ln\bigl(1+1/x^{2}\bigr) é uma indeterminação do tipo \infty\cdot0. Reescrevemos como quociente para aplicar L’Hospital:
\ln y = \frac{\ln\!\bigl(1+1/x^{2}\bigr)}{1/x}.

Passo 4

Agora o limite de \ln y é
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\bigl(1+1/x^{2}\bigr)}{1/x},
que é \tfrac{0}{0}. Podemos, então, aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x.

Passo 5

Calculemos as derivadas:
– Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\!\bigl(1+1/x^{2}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1+1/x^{2}}\cdot \Bigl(-\frac{2}{x^{3}}\Bigr) = -\frac{2}{x^{3}+x}.
– Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] = -\frac{1}{x^{2}}.
Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty} \frac{-\tfrac{2}{x^{3}+x}}{-\tfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{3}+x}\cdot x^{2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}}{x^{3}+x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x + 1/x} = 0.

Passo 6

Como \lim_{x\to+\infty}\ln y = 0, temos
\lim_{x\to+\infty}y = \lim_{x\to+\infty}e^{\ln y} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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