Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty}(1+2 x)^{\frac{1}{2 \ln (x)}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
L = \lim_{x\to+\infty} (1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}}.
O conteúdo principal é limite de função na forma “base vai a ∞ e expoente vai a 0”, e vamos usar transformação logarítmica e a Regra de L’Hospital para resolver.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty} (1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}},
e tomamos o logaritmo natural para tratar a indeterminação:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\bigl(1+2x\bigr)}{2\ln(x)}.

Passo 3

No limite acima, tanto o numerador \ln(1+2x) quanto o denominador 2\ln(x) tendem a +\infty. Logo temos uma forma \tfrac{\infty}{\infty} e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1+2x)\bigr] = \frac{2}{1+2x}.
– Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[2\ln(x)\bigr] = 2\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}.
Portanto
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\tfrac{2}{1+2x}}{\tfrac{2}{x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{1+2x}\cdot\frac{x}{2}.

Passo 5

Simplificando a expressão temos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{1+2x} = \frac{1}{2}.
Logo o limite do logaritmo é \tfrac12.

Passo 6

Voltando à L, temos
L = e^{\ln L} = e^{\tfrac12} = \sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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