Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+\operatorname{sen}(4 x))^{\operatorname{cotg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\rightarrow0^{+}}\bigl(1+\operatorname{sen}(4x)\bigr)^{\operatorname{cotg}(x)}
usando a Regra de L’Hospital. Aqui surge uma indeterminação do tipo 1^{\infty}, então vamos aplicar o truque do logaritmo.

Passo 2

Seja
L = \lim_{x\rightarrow0^{+}}\bigl(1+\operatorname{sen}(4x)\bigr)^{\operatorname{cotg}(x)}.
Podemos escrever \ln L como
\ln L = \lim_{x\rightarrow0^{+}}\operatorname{cotg}(x)\,\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(4x)\bigr).
Note que \operatorname{cotg}(x)\to+\infty e \ln(1+\operatorname{sen}(4x))\to0, ou seja, forma \infty\cdot0. Para usar L’Hospital, reescrevemos o produto como quociente:
\operatorname{cotg}(x)=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)},\qquad \ln L = \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(4x)\bigr)}{\operatorname{tg}(x)},
que é uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(4x)\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1+\operatorname{sen}(4x)}\cdot\cos(4x)\cdot4 = \frac{4\cos(4x)}{1+\operatorname{sen}(4x)},
\frac{d}{dx}[\operatorname{tg}(x)] = \operatorname{sec}^2(x).
Logo,
\ln L = \lim_{x\rightarrow0^{+}} \frac{\frac{4\cos(4x)}{1+\operatorname{sen}(4x)}}{\operatorname{sec}^2(x)} = \lim_{x\rightarrow0^{+}} \frac{4\cos(4x)\cos^2(x)}{1+\operatorname{sen}(4x)}.
Ao substituir x=0, temos \cos(4x)\to1, \cos^2(x)\to1 e \operatorname{sen}(4x)\to0, de modo que
\ln L = \frac{4\cdot1\cdot1}{1+0} = 4.

Passo 4

Voltando ao limite original,
L = e^{\ln L} = e^4.

Resposta

e^{4}

Exercícios relacionados