Exercício 39. O conjunto W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid b=a^{2}\right\} é un subespaço de R^{3} ?

Passo 1

O enunciado define
W = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid b = a^2\}
e pergunta se W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. \mathbf{0}=(0,0,0)\in W,
  2. fechamento sob soma de vetores,
  3. fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
\mathbf{0}=(0,0,0). Neste caso b=0 e a^2=0^2=0, logo 0=0 satisfaz a condição b=a^2. Portanto \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Tomemos dois vetores arbitrários em W:
w_1 = (a_1,\,a_1^2,\,c_1), \quad w_2 = (a_2,\,a_2^2,\,c_2).
A soma é
w_1 + w_2 = (a_1 + a_2,\;a_1^2 + a_2^2,\;c_1 + c_2).
Para pertencer a W, a segunda componente deveria ser (a_1 + a_2)^2 = a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2, mas de fato é apenas a_1^2 + a_2^2. Faltam os termos 2a_1a_2, então em geral
a_1^2 + a_2^2 \neq (a_1 + a_2)^2,
logo w_1 + w_2\notin W.

Passo 4

Como W não é fechado sob soma, não satisfaz as condições de subespaço linear. Não é preciso verificar multiplicação escalar: já basta a falha no fechamento sob adição.

Resposta

Não. W não é subespaço de \mathbb{R}^3 pois não é fechado sob adição.

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