Exercício 4.40 Primeiramente, tente calcular usando a Regra de L’Hospital (deixe as contas indicadas). Caso não seja possível, calcule utilizando outra técnica.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{cotg}(x)}{\operatorname{cossec}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cot x}{\csc x}
O conteúdo é cálculo de limites com a Regra de L’Hospital, pois temos uma forma potencialmente indeterminada.

Passo 2

Ao fazermos x\to0^{+} temos \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\to+\infty e \csc x=\frac{1}{\sin x}\to+\infty,
logo é uma forma \infty/\infty e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
(\cot x)'=-\csc^{2}x, \quad (\csc x)'=-\csc x\,\cot x.

Passo 4

Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cot x}{\csc x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{-\csc^{2}x}{-\csc x\,\cot x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\csc^{2}x}{\csc x\,\cot x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\csc x}{\cot x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{1/\sin x}{\cos x/\sin x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\cos x} =\lim_{x\to0^{+}}\operatorname{sec} x.

Passo 5

Como \operatorname{sec} x é contínua em 0, temos
\lim_{x\to0^{+}}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec}(0)=1.

Resposta

1

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