Exercício 41. Calcule a derivada das seguintes funções (use diferenciação logarítmica):
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
usando diferenciação logarítmica. O conteúdo aqui é o tratamento de potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. Vamos precisar aplicar logaritmo natural em
, depois usar regra da cadeia e log-diff em níveis aninhados.
Passo 2
Defina
assim
. Tome logaritmo de
:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando produto e cadeia, obtemos
Logo
Passo 3
Agora precisamos de
. Para isso, observe o “nível” abaixo:
Primeiro calcule
por log-diff em
:
Passo 4
Ainda por log-diff em
:
Substituindo
,
e
, vem
Passo 5
Retornando a
, temos
e substituindo
e o valor de
: