Exercício 41. Calcule a derivada das seguintes funções (use diferenciação logarítmica):
f(x)=x^{x^{x^{x}}}, x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{x^{x^{x}}},\quad x>0
usando diferenciação logarítmica. O conteúdo aqui é o tratamento de potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos precisar aplicar logaritmo natural em f(x), depois usar regra da cadeia e log-diff em níveis aninhados.

Passo 2

Defina
u(x)=x^{x^{x}},
assim f(x)=x^{u(x)}. Tome logaritmo de f:
\ln f(x)=u(x)\,\ln x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando produto e cadeia, obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)}=u'(x)\,\ln x+\frac{u(x)}{x}.
Logo
f'(x)=f(x)\Bigl(u'(x)\,\ln x+\frac{u(x)}{x}\Bigr) =x^{u(x)}\Bigl(u'(x)\,\ln x+\frac{u(x)}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Para isso, observe o “nível” abaixo:
u(x)=x^{v(x)}, \quad v(x)=x^x.
Primeiro calcule v'(x) por log-diff em v:
\ln v(x)=x\ln x \;\Longrightarrow\; \frac{v'(x)}{v(x)}=\ln x+1 \;\Longrightarrow\; v'(x)=x^x(\ln x+1).

Passo 4

Ainda por log-diff em u:
\ln u(x)=v(x)\ln x \;\Longrightarrow\; \frac{u'(x)}{u(x)}=v'(x)\,\ln x+\frac{v(x)}{x} \;\Longrightarrow\; u'(x)=u(x)\Bigl(v'(x)\,\ln x+\frac{v(x)}{x}\Bigr).
Substituindo u(x)=x^{x^x}, v(x)=x^x e v'(x)=x^x(\ln x+1), vem
u'(x) =x^{x^x}\Bigl[x^x(\ln x+1)\,\ln x+\frac{x^x}{x}\Bigr].

Passo 5

Retornando a f'(x), temos
f'(x) =x^{u(x)}\Bigl(u'(x)\,\ln x+\frac{u(x)}{x}\Bigr)
e substituindo u(x)=x^{x^x} e o valor de u'(x):
f'(x) =x^{x^{x^x}}\Bigl( x^{x^x}\Bigl[x^x(\ln x+1)\,\ln x+\frac{x^x}{x}\Bigr]\ln x +\frac{x^{x^x}}{x} \Bigr).

Resposta

f'(x) =x^{x^{x^x}} \Bigl( x^{x^x}\bigl[x^x(\ln x+1)\ln x+\tfrac{x^x}{x}\bigr]\ln x +\frac{x^{x^x}}{x} \Bigr).

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