Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função \mathrm{P}(\mathrm{t}), que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{k}(\mathrm{M}-\mathrm{P})
onde M e k são constantes positiva. A constante \mathrm{P}_{0}= P(0) \leqslant M representa o conhecimento inicial do indivíduo.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para \mathrm{P}(\mathrm{t}).
b) Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando t \rightarrow \infty ? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes k e M representam.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial que modela a curva de aprendizado
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=k\bigl(M-P\bigr),
onde M>0 e k>0 são constantes e P(0)=P_{0}\le M.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, separáveis.

Passo 2

Separe as variáveis para integrar. Escrevemos
\frac{\mathrm{d}P}{M-P}=k\,\mathrm{d}t.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{\mathrm{d}P}{M-P}=\int k\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad -\ln\bigl|M-P\bigr|=k\,t+C.

Passo 3

Isolamos M-P e definimos uma constante C'=\mathrm{e}^{-C}:
M-P=C'\,\mathrm{e}^{-k\,t}.
No instante t=0, temos P(0)=P_{0}, logo
M-P_{0}=C'\,\mathrm{e}^{0} \quad\Longrightarrow\quad C'=M-P_{0}.

Passo 4

Substituindo C' na solução geral, obtemos
P(t)=M-(M-P_{0})\,\mathrm{e}^{-k\,t}.

Passo 5

Para t\to\infty, tem-se \mathrm{e}^{-k\,t}\to 0, logo
\lim_{t\to\infty}P(t)=M.
Isso mostra que M é o nível máximo de conhecimento que pode ser alcançado (satura em M) e k é a taxa de aprendizado, pois quanto maior k, mais rápido P(t) se aproxima de M.

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=M-\bigl(M-P_{0}\bigr)\,\mathrm{e}^{-k\,t}.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t)=M. Nesse modelo, M é o conhecimento máximo assintótico e k mede a rapidez com que se atinge esse patamar.

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