Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função \mathrm{P}(\mathrm{t}), que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
onde M e k são constantes positiva. A constante \mathrm{P}_{0}=P(0) \leqslant M representa o conhecimento inicial do indivíduo.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para \mathrm{P}(\mathrm{t}).
b) Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando t \rightarrow \infty ? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes k e M representam.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial que modela a curva de aprendizado
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=k\bigl(M-P\bigr),
onde M>0 e k>0 são constantes e P(0)=P_{0}\le M.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, separáveis.
Para t\to\infty, tem-se \mathrm{e}^{-k\,t}\to 0, logo
\lim_{t\to\infty}P(t)=M.
Isso mostra que M é o nível máximo de conhecimento que pode ser alcançado (satura em M) e k é a taxa de aprendizado, pois quanto maior k, mais rápido P(t) se aproxima de M.
Resposta
(a) \displaystyle P(t)=M-\bigl(M-P_{0}\bigr)\,\mathrm{e}^{-k\,t}.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t)=M. Nesse modelo, M é o conhecimento máximo assintótico e k mede a rapidez com que se atinge esse patamar.